Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в
которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных
чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке.
Изобретения и открытия гения
-
Работы Паскаля изменили жизнь его современников, дав им новые возможности. Они заложили основы для дальнейших работ в области метеорологии, гидродинамики и математики. Некоторые из его изобретений в неизменном виде существуют и в наши дни.
-
Арифмометр и механический калькулятор
-
Первым выдающимся изобретением Блеза стала суммирующая машина — предок современных калькуляторов.
-
Интересно! Работы над ней он начал, глядя на то, как его отец, сборщик налогов, ведёт утомительные подсчёты вручную.
-
Устройство, получившее название «паскалина», позволяло выполнять различные арифметические действия с восьмизначными числами. Она не получила широкого распространения из-за своей высокой стоимости и применявшейся тогда во Франции сложной денежной системы. Однако именно арифмометр Паскаля на три столетия вперёд стал основой для создания более современных вычислительных машин.
-
Закон Паскаля и атмосферное давление
-
Проводя опыты с трубкой Торричелли — сосудом, заполненным ртутью — он доказал существование атмосферного давления, подтвердив существовавшие ранее гипотезы. Сам Паскаль писал, что с помощью такого прибора можно было бы узнать, как две разных точки земного шара смещены относительно друг друга. Эти исследования стали важным этапом усовершенствования барометров.
-
Продолжая развивать работы Симона Стевина и Галилео Галилея, Паскаль сформулировал закон о распределении давления в жидкой среде, получивший затем его имя. Выведенное им уравнение служит основой гидростатики. Кроме того, в своём трактате «О равновесии жидкостей» Блез впервые опубликовал идею гидравлического пресса. Изобретение долгое время оставалось невостребованным, и только в 1795 году английский инженер Джозеф Брама запатентовал рабочий прототип устройства.
-
Теория вероятностей и рулетка
-
В 1654 году, по предложению своего друга Антуана Гомбо, Паскаль занялся решением некоторых задач, имевших отношение к азартным играм. В ходе этих исследований, он, вместе с другим выдающимся математиком Пьером Ферма, заложил основы теории вероятностей. Отдельную работу он посвятил изучению свойств таблицы биномиальных коэффициентов, получившей название «треугольника Паскаля». Эта простая конструкция нашла своё применение в комбинаторике, математическом анализе и теории чисел.
-
Треугольник Паскаля
-
Циклоида
-
Последней научной работой Блеза стало исследование циклоиды. К тому моменту он уже жил в монастыре и занялся этим ради отвлечения от зубной боли. Задачу, сформулированную Мерсенном, он решил за одну ночь, попутно сделав несколько важных для алгебры открытий. Сам Паскаль хотел оставить результаты своих изысканий в тайне, но затем всё же согласился предоставить их на конкурс, устроенный герцогом де Роанне. Решение Блеза произвело на жюри наибольшее впечатление и повлияло на появление в математике дифференциального и интегрального исчислений.
-
Улитка Паскаля
Свойства Треугольника Паскаля:
1. Сумма чисел n-ной строки (отсчет ведется с нуля) треугольника Паскаля
равна. Действительно, при переходе от каждой строки к следующей сумма
членов удваивается, а для нулевой строки она равна.
2. Все строки треугольника Паскаля симметричны. Потому что при переходе от
каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая
строка симметрична.
3. Каждое число в треугольнике Паскаля равно, где — номер строки, — номер
(отсчет ведется с нуля) элемента в строке.
4. Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме
всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный диагоналями, на
пересечении которых находится этот элемент.
5. Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены
треугольные числа, тетраэдрические числа и т.д.
6. Если посчитать для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля
сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, то получится соответствующее
число Фибоначчи.
Виды треугольника и характеристики:
1. Треугольник Яна Хуэя
В треугольнике Ян Хуэя симметрия в одном месте нарушается, тогда как треугольник Паскаля симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через его вершину.
2. Треугольник Омара Хайма
Таблица биномиальных коэффициентов
3. Треугольник Блеза Паскаля
В такой форме треугольник Паскаля появился в сочинении Паскаля «Трактат
об арифметическом треугольнике», изданном в 1665 г. уже после смерти
автора. Более точно, в указанном сочинении была опубликована следующая
таблица, в которой каждое число А равно сумме двух расположенных над
ним чисел. В этом треугольнике на вершине и по бокам
стоят единицы. Строки треугольника симметричны относительно
вертикальной оси.
4. Треугольник Чжу Шицзе
5. Треугольником Тартальи
Таблица фигурных чисел
6. Треугольник Петра Апиана
7. Треугольник Гуго Штейнгауза
Предположим, что вы входите в город и можете двигаться только вперед,
точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Есть: узлы, в
которые можно попасть только единственным образом, точка, в которую
можно попасть двумя и тремя способами.
Вклад Паскаля в развитие математики: